aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine (rein) imaginäre Zahl (auch Imaginärzahl, lat. numerus imaginarius) ist eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nichtpositive reelle Zahl ist. Äquivalent dazu kann man die imaginären Zahlen als diejenigen komplexen Zahlen definieren, deren Realteil null ist.[1]
Die Bezeichnung „imaginär“ wurde zuerst 1637 von René Descartes benutzt, allerdings für nichtreelle Lösungen von algebraischen Gleichungen.[2]
Allgemeines
Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußebene
Wie die reellen Zahlen aus der Einheit 1 hervorgehen, basieren die imaginären Zahlen auf der imaginären Einheit
Durch Multiplikation der imaginären Einheit
stets eine imaginäre Zahl. Und auch umgekehrt ist jede imaginäre Zahl so ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit. In der Gaußebene (siehe Bild) bilden die imaginären Zahlen die mit Im beschriftete Gerade, die die reelle Zahlengerade Re bei der gemeinsamen Zahl 0 rechtwinklig schneidet.
Anwendung
In den imaginären Zahlen lassen sich Gleichungen lösen, die keine reellen Lösungen haben können. Zum Beispiel hat die Gleichung
als Lösung zwei reelle Zahlen, nämlich 2 und −2. Aber die Gleichung
kann keine reelle Lösung haben, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, sodass es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat −4 wäre. Die Lösung dieser Gleichung sind zwei imaginäre Zahlen,
Eine Beschäftigung mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wurde bei der Lösung von kubischen Gleichungen im Fall des Casus irreducibilis nötig.
In der komplexen Wechselstromrechnung wird als Symbol für die imaginäre Einheit statt
Rechenregeln
Summen oder Differenzen zweier imaginärer Zahlen sind stets imaginär:
Produkte oder Quotienten zweier imaginärer Zahlen sind stets reell:
Potenzen
allgemein:
für alle
Komplexe Zahlen
→ Hauptartikel: Komplexe Zahl
Die imaginäre Einheit
Heute versteht man imaginäre Zahlen als spezielle komplexe Zahlen. Jede komplexe Zahl kann dargestellt werden als Summe einer reellen Zahl und eines reellen Vielfachen der imaginären Einheit
Algebraisch wird
Alle komplexen Zahlen lassen sich in der Gaußebene darstellen, einer Erweiterung der reellen Zahlengeraden. Die komplexe Zahl
Weiteres
Erweiterungen stellen die hyperkomplexen Zahlen dar, die über die komplexen Zahlen hinausgehend mehrere imaginäre Einheiten aufweisen. Beispielsweise treten bei den vierdimensionalen Quaternionen drei imaginäre Einheiten auf, bei den achtdimensionalen Oktonionen gibt es sieben imaginäre Einheiten.
In der eulerschen Identität wird ein prägnanter, einfacher Zusammenhang der imaginären Einheit